なぜ予算制約線は直線になるの？

無差別曲線は右上に行くほど
効用が高くなりますね。
⇒無差別曲線5つの性質とは？

効用とは満足度のことです。

上記グラフだと左下にある黄緑色の無差別曲線よりも
右上にある紫色やオレンジ色の無差別曲線の方が効用が高いです。

ただ、この情報だけだと
もっとも無限に右上に行くほど、効用が高くなることはわかります。
でも、お金って有限です。

いくら効用が高くなるからといって
自分の予算以上の商品を購入することはできません。

そこで予算制約線の登場です。
予算制約線は予算で買える範囲を表す線です。

さらに予算制約線と無差別曲線をぶつけて
予算の範囲の中でもっとも効用が高いのがどこか表すのが
最適消費点です。

この記事では予算制約線が直線になる理由について解説します。
が、まず先に予算制約線の基本的な解説をしていきます。

予算制約線とは？

予算制約線とは予算（M)を使って最大限購入できるX財の消費量と
Y財の消費量の組み合わせの集合のことです。

最大限購入できるということは
予算（持ち金）を使い切るということですね。

予算制約線の定義より、財はXとYの2つしかないという前提があります。
これがこの記事のメインテーマである
予算制約線が直線であることの理由の一つになります。

そこで以下の式が成立します。

です。

なので、Pxxは財Xへの支出額、
PyYは財Yへの支出額になります。

また、Pxx＋Pyyは総支出額になります。
この総支出額が予算Mとイコールの関係にあります。

つまり、この式はちょうど予算を使い切るような
財X、財Yの消費量がわかります。

予算制約線が直線になる理由

でしたね。

ところで、PxとかPyといった価格は定数です。
定数というのは数字が変化しないという意味です。

当然ですね。
たとえばチョコレートが財Xで価格が500円だったとしたら
チョコレートの値段は物価の変動がなければずっと500円です。

これに対してxとかｙという消費量は変動します。
またMも定数します。

そこでPxやPyといった定数には具体的な価格を入れて
グラフを作っていきましょう。

たとえばMは20000円、Pxは1000円、Pyは2000円としましょう。

すると式は
20000＝1000ｘ＋2000ｙ
となりますね。

たとえば財Xが0個なら財Yは10個買えますね。
10個×2000円＝20000円（予算の20000円と同額）
ですからね。

では財Xが2個なら財Yは9個買えますね。
2個×1000円＋9個×2000円＝20000円ですから。

財Xが4個なら財Yは8個買えます。
財Xが6個なら財Yは7個。
財Xが8個なら財Yは6個
とずっと続けていくと
財Xが20個で財Yは0個となりますね。

そうすると、以上の情報をもとに予算制約線を作ると

直線になります。

なぜ直線になるのでしょう？

上記グラフは
20000＝1000ｘ＋2000ｙ
という式でできていましたね。

そもそも予算制約線の定義は
予算（M)を使って最大限購入できるX財の消費量と
Y財の消費量の組み合わせの集合のことでした。

X財とY財の2種類しかないので
確実に20000＝1000ｘ＋2000ｙみたいな式になります。

この式を変形すると
2000ｙ＝-1000ｘ＋20000
ｙ＝-1/2X+10

となり、これって中学生で習う1次関数の式ですね。
1次関数は直線になります。

以上の理由から予算制約線は確実に直線になります。

予算制約線の特徴（入手可能領域）

ところで予算制約線は、ちょうど予算を使い切るような
横軸ｘの消費量、縦軸ｙの消費量の組み合わせとなっています。

たとえば点P,点Q,点R,点Sは予算制約線上にあるので
予算を使い切っています。

ですが、予算制約線より左側にある黄色い領域（たとえば点T)は
予算を使い切っていないので、お金が残っている状態です。

では予算制約線より右側にある点はどうでしょう？

予算制約線より右側にある黄緑色の領域（点Uや点V)は
予算オーバーの状態です。

なので、お金が足りない状態です。

ということはこの予算の価格で
この人が買える範囲というのは予算制約線上の点と
黄色い領域の範囲内なので、三角形POQとなります。

この三角形POQの領域のことを入手可能領域といいます。

以上で解説を終わります。