等費用線とは？グラフを使ってわかりやすく解説

どうやったら費用を最小化できるか？
考えていきましょう。

そのために等費用線が必要になります。

今回の記事では等費用線とはどういう線なのか？
解説していきたいと思います。

等費用線とは？

等費用線は等しい費用の線ということです。
費用は英語でTotal Costというので、経済学ではTC（総費用）と略したりします。

なので等費用線は以下のような式になります。

たとえば、賃金ｗ＝1時間900円、労働時間（労働の投入量）L=8時間としましょう。
それからKは資本（の投入量）で元々はお金のことです。
ここではK=900万円として、銀行から900万円融資を受けたとしましょう。
で、銀行から融資を受けたから利息を支払わないといけないので
銀行に支払う利子率ｒ＝1％としましょう。

この場合、
TC=900円×8時間＋１％×900万円＝7200円＋9万円＝97200円
となりますね。

上の式の意味はTC（総費用）はまず人件費は8時間労働で時給900円なので7200円ですね。
それから銀行からの融資ですが、900万円のうちの1％を支払わないといけないので9万円となります。

つまり、7200円は従業員に支払うお金で9万円は銀行に払う利子で
どちらもコストなので、どちらもまとめてTC(トータルコスト、総費用）97200円となります。

また、以上の計算を公式にすると

となるわけですね。

この等費用線を以前解説した等量曲線のグラフに
重ねていきましょう。
⇒技術的限界代替率の求め方（公式を使って）

労働L、資本Kの平面の中に等費用線を加えていくってことです。
TC=wL+rKをLとKの平面に移し替えたいので、
この式を縦軸をKにとっている関係で
K=の式に変形する必要があります。

TC=wL+rKをK=から始まる式に変形すると

となりますね。

変形してできた式は中学1年生のとこにやった一次関数と同じです。
y=ax+b
みたいな関数ですね。

yがKでaxのaが-w/rでxがL、bがTC/r
と一致します。

なので、-w/rは傾きで、TC/rは縦軸切片となります。

グラフにするとこんな感じです。

等費用線の式は

です。

傾きが(-w/r)とマイナスなので等費用線は右下がりの線になります。
縦軸の切片はTC/rです。

横軸の切片はK=0を代入するとわかります。
L=TC/ｗとなり、これが横軸切片です。

費用最小化

今回の記事で重要なのは、TCを最小化する（費用最小化）ことです。

ただ、前提があります。
等量曲線、今回は生産量Qを1000個としますが、
この生産量1000個は不変です。

この辺に関しては前回の記事で詳しく解説しました。
⇒技術的限界代替率の求め方（公式を使って）
⇒等量曲線の特徴

なので、等量曲線は不動です。
この前提条件で、どうすればTCが安くなるか？という話になります。
具体的には等費曲線の縦軸切片や横軸切片の値をなるべく
原点の方向に寄せることで、TCは下がります。

とすると、

等費用線が点Eを通るところまで下げることができます。
これが費用を最小にしたときの等費用線です。

つまり、等量曲線（等生産量曲線とも）と等費用線の接点Eで
費用最小化が実現します。

仮に点Eよりも下まで等費用線が下がってしまったら（もっとTCが下がったら）、
そもそも等量曲線（生産量が1000個）と接することがありません。

ということは、等量曲線上の点はどの点を取っても
生産量が1000個なわけですから
それ以外の点では生産量1000個が実現できません。

なので、どうしても等量曲線と等費用線は接する必要があるわけです。
そういう前提から等費用線と等量曲線が接する点Eこそが
一番TCを減らすことができつつも、生産量1000個を実現できる最小の点と言えます。

だから費用最小化できる点はEとなるわけですね。
また、点Eは等費用線と等量曲線の接点となっています。

とると、

等費用線の傾き（-w/r)と等量曲線に接線引っ張った傾き（-ΔK/ΔL)が等しいことになります。
これは数学の知識です。

-w/rはwが賃金（時給）でrは銀行から融資を受けた時の利子率です。
すると-w/rというのは1％で900円みたいな意味になります。
これを生産要素価格比といいます。

これと-ΔK/ΔL（技術的限界代替率）がイコールの関係になります。
⇒技術的限界代替率の求め方（公式を使って）

ちなみに技術的限界代替率というのは
等量曲線に接線を引っ張ったときにできる傾きのことでしたね。
たとえば1時間労働時間が増えたら、1000個という生産量をキープするときに
何時間設備の稼働を減らすのか？というのが技術的限界代替率です。

まとめますと、

となります。